<aside> <img src="/icons/private_red.svg" alt="/icons/private_red.svg" width="40px" /> Definición Sea $(\Omega,\Lambda,P)$ un e.p., se dice que $\mathbb{X}=(X_1,X_2,..,X_n)$ es un vector aleatorio de dimensión $n$ si para cada $j=1,...,n$ $X_j:\Omega\to\mathbb{R}$ es una V.A.

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Vector aleatorio: vector formado con variables aleatorias

Teorema

Para todo $x=(x_1,...,x_n)\epsilon\mathbb{R}$ se tendrá que $X^{-1}((-∞,x_1)\cdot(-∞, x_2)\cdot...\cdot(-∞,x_n)) \ \epsilon \Lambda$

Función de distribución

Sea $\mathbb{X}=(X_0,...,X_n)$ un vector aleatorio de dimensión $n$, definimos la función de distribución de $\mathbb{X}$ como

$$ F_{\mathbb{X}}(\mathbb{x})=P(X_1\leq x_1,...,X_n\leq x_n) $$

Es la intersección de todos estos eventos

Propiedades (cuando $\mathbb{X}=(X,Y))$

1. $\displaystyle \lim_{x,y \to ∞} F_{\mathbb{X}}(x)=1, \ \displaystyle \lim_{x \to -∞} F_{\mathbb{X}}(x)=0, \ \lim_{y \to -∞} F_{\mathbb{X}}(x)=0$
2. $F_{\mathbb{X}}(x)$ es monótona no decreciente en cada variable
3. $F_{\mathbb{X}}(x)$ es continua a derecha en cada variable
4. $P((X,Y)\ \epsilon \ (a_1,b_1)\times(a_2,b_2))=F_{\mathbb{X}}(b_1,b_2)-F_{\mathbb{X}}(b_1,a_2)-F_{\mathbb{X}}(a_1,b_2)+F_{\mathbb{X}}(a_1,a_2)$

Función de probabilidad conjunta Vec.A discreto

Sean $X$ e $Y$ dos V.A.D. definidas en el espacio muestral $\Omega$ de un experimento. La función de probabilidad conjunta se define para cada par de números $(x,y)$ como

$$ p_{x,y}(x,y)=P(X=x,Y=y) $$

Debe cumplirse que:

1. $p_{X,Y}(x,y)\ge 0$
2. $\sum_x\sum_yp_{X,Y}(x,y)=1$

Ejemplo