Las dos funciones más importantes

$$ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}, \ F_X(x)=P(X\leq x), \forall x \ \epsilon \ \mathbb{R} $$

La nueva función no va a ser de densidad porque el área dejo de ser 1. Una vez que condicionamos nuestro espacio de probabilidad se reduce entonces tenemos que proporcionar de nuevo todas las probabilidades originales considerando nuestro nuevo espacio de resultados posibles

⇒ La pinta de la densidad tiene que mantenerse pero para que sea una función densidad tengo que re-escalarla para que cumpla con la definición

Sea $X$ una V.A. con $F_X(x)=P(X\leq x)$

$$ F_{x|x\epsilon A}(x)=P(X\leq x|x\epsilon A)=\frac{P(X\leq x,X\epsilon A)}{P(X\epsilon A)} $$

Es una probabilidad condicional siempre y cuando $P(X\epsilon A)>0$

Este cálculo de esta probabilidad dependerá de tipo de V.A. y su distribución

Función de densidad V.A.C.

Si $X$ es una V.A.C. con función de densidad $f_X(x)=\frac{d}{dx}F_X(x)$, la función de densidad de $X$ condicionada a $X\epsilon A$ se calcula como

$$ f_{X|X\epsilon A}(x)=\frac{d}{dx}F_{X|X\epsilon A}(x)=\frac{f_X(x)\mathbb{I}\{X\epsilon A \}}{P(X\epsilon A)} $$

La nueva indicadora tira a la basura todo lo que no esta en A. Re-escalamos la nueva función de densidad